Home Lớp 8 Cách giải và bài toán lập hệ phương trình lớp 8, lớp...

Cách giải và bài toán lập hệ phương trình lớp 8, lớp 9

97
0

1. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình làm theo 3 bước cụ thể như sau:

Bước 1: Lập phương trình

– Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

– Tìm các số liệu chưa biết thông qua ẩn.

 – Tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để lập hệ phương trình

Bước 2: Giải hệ phương trình

Bước 3: Kết luận

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn  rồi kết luận.

2. Các dạng toán lập hệ phương trình cơ bản

1. Dạng toán chuyển động;

VD: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/giờ, rồi đi tiếp quãngđường BC với vận tốc 45km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thờigian ô tô đi trên quãng đường  AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi quãng đường.

Giải: 

Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC lần lượt là x (giờ ) và y (giờ )

Điều kiện x, y >0

Độ dài quãng đường: AB = 50x (km); BC = 45y (km)

Vậy ta lập được phương trình: 50x+45y= 165 (1)

Thời gian ô tô đi trên quãng đường  AB ít hơn thời gian đi trên quãng đườngBC là 30 phút

<=>  x + 0,5 = y (2)

Từ (1) và (2) có hệ phương trình:

50x + 45y= 165

x + 0,5 = y

Giải hệ phương trình trên, ta được nghiệm: x = 1,5 và y = 2 (thỏa đk)

Vậy thời gian gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC lần lượt là 1h30’ và 2h

2. Dạng toán liên quan tới kiến thức hình học

VD: Chị Hoa mới ký hợp đồng bán mảnh vườn HCN có chu vi 250m. Tính diện tích của mảnh vườn trên, biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần, chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi của mảnh vườn không đổi.

Giải:

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn HCN lần lượt là x và y (mét)

Điều kiện: 0 < x < y <125

Ta có chu vi mảnh vườn là 250m nên: x + y = 125

Ta lại có chiều dài giảm 3 lần, chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi của mảnh vườn không đổi nên: 2x + y/3 = 125

Giải hệ phương trình: x + y = 125

                               2x + y/3 = 125

Ta được nghiệm: x = 50 và y = 75 (thỏa điều kiện)

Vậy diện tích của mảnh vườn HCN là: 50 x 75 = 3750 m2

3.Dạng toán công việc làm chung, làm riêng.

VD: Hai thợ máy cùng nhau sữa chữa thiết bị trong công xưởng. Biết rằng sẽ mất 12h30’ nếu người thứ nhất và thứ 2 làm một mình mỗi người nửa. Nếu 2 người cùng làm thì chỉ mất 6h để hoàn thành công việc. Hỏi mỗi người sẽ mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành công việc một mình.

Giải:

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong nửa công việc là x (x > 0)

Gọi thời gian người hai làm một mình xong nửa công việc là y (y > 0)

Theo đề bài ta có pt: x + y = 121/2  (1)

Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là 2x => 1h người thứ nhất làm được 1/2x công việc

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là 2y => 1h người thứ nhất làm được 1/2y công việc

1h cả hai người làm được 1/6 công việc nên ta có pt: 1/2x + 1/2y = 1/6 (2)

Từ (1) và (2) có hệ pt:        

                    x + y = 121/2 

                    1/2x + 1/2y = 1/6

⇔ x = 5 và y = 15/2  hoặc x = 15/2 và y = 5

Vậy nếu làm một mình cả công việc thì một người làm trong 10h còn người kia làm trong 5h.

4. Dạng toán vòi nước

VD: Một bể bơi mới xây, người ta cho hai vòi nước cùng chày vào thì 3h45p đầy bể. Nếu chảy riêng lẻ, mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? Biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi chảy trước 4h.

Giải:

Gọi thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là x và y (giờ), (x>0, y > 4)

Trong 1h vòi 1 chảy được: 1/x (bể)

1h vòi 2 chảy được 1/y (bể)

<=> 1h hai vòi chảy được 1/x + 1/y (bể) (1)

Ta có hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h45’ = 15/4 giờ

Vậy 1h cả hai vòi chảy được: 15/4  = 4/5 (bể) (2)

Từ (1) và (2) ta có pt: 1/x + 1/y = 4/15

Mà rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi chảy trước 4h nên: y – x = 4

Giải hệ pt:   1/x + 1/y = 4/15      

                  y – x = 4

<=>  x = 6 và y = 10 (chọn)  

hoặc x = -2,5 và y = 1,5 (loại)

Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 6h, vòi 2 là 10h.

5. Dạng toán tìm số.

VD: Cho một số có hai chữ số, biết rằng nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng số ban đầu và số mới tạo thành bằng 99.

Giải:

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, hàng đơn vị là y (x,y € N*; x,y ≤ 9)

Số đã cho là 10x + y và số mới đã đổi chỗ hai chữ số là 10y + x

Theo đầu bài ta có hệ:        

                     10y + x – 63 = 10x + y

                     10x + y + 10y + x = 99

⇔  x = 1 và y = 8

Vậy số cần tìm là 18

6. Dạng toán sử dụng các kiến thức vế %.

VD: Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng sắt chứa 66% sắt.

Giải:

Gọi khối lượng quặng chứa 75% sắt và 50% sắt là x và y (tấn) (x,y>0)

Ta có: x + y = 25 tấn   (1)

Khối lượng sắt trong hai quặng lần lượt là 75%.x (tấn) và 50%. y (tấn)

Ta có: 75%.x + 50%. y = 66%. 25

⇔  3x + 2y = 66      (2)

Từ (1) và (2) có hệ pt:

x + y = 25

3x + 2y = 66

⇔  x = 66 và y = 19

7. Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hóa học.

VD: Khi cho 200g axit vào dung dịch A được dung dịch B có nồng độ axit là 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dịch B được dung dịch C có nồng độ axit là 40%. Yêu cầu: tính nồng độ axit trong dd A.

Giải:

Gọi khối lượng axit và khối lượng nước trong dung dịch A lần lượt là x (g) và y (g) (x>0, y>0)

Nồng độ axit trong dung dịch A là x / (x+y)

Nồng độ axit trong dung dịch B là 50% ½ nên ta có:

(x+200)/(x+200+y) = ½

<=>  y = x + 200        (1)

Nồng độ axit trong dung dịch C là 40% = 2/5 nên ta có:

(x+200)/(x+200+y+300) = 2/5

<=>  3x – 2y = 0         (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

         Y = x + 200

         3x – 2y = 0

ó x = 400 và y = 600 (thỏa mãn đk đề bài)

Vậy nồng độ axit trong dung dịch A là: 400/(400+600) = 40%

3. Một số lưu ý về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, các em thường không để ý đến các lỗi nhỏ dẫn đến sai kết quả bài toán. Vì vậy, mỗi bước tính cần phải chắc chắn, cẩn thận:

  • Đầu tiên phải đọc kỹ đề, hiểu đề toán và định hướng cách làm
  • Chọn ẩn và đặt ẩn: Thông thường bài toán hỏi đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.
  •  Về điều kiện của ẩn:

+ Nếu x biểu thị một chữ số thì 0 ≤ x ≤ 9

+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x nguyên dương

+ Nếu x biểu thị vận tốc thì x > 0

  • Lập hệ phương trình theo đúng dữ kiện đã cho và đúng thứ tự các ẩn a,b,c hay x,y,z,… để tiện trong việc tính toán
  • Không sai sót trong giải tay hoặc bấm máy

Các công thức cần lưu ý khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

1. s = v . t  

2.  Chuyển động của tàu thuyền khi có tác động dòng nước:

V xuôi dòng = V thực + V dòng nước

V ngược dòng = V thực – V dòng nước

3Khối lượng công việc A, năng suất lao động N, thời gian làm việc T: A = N.T

4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 8

VD1: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/giờ, sau đó đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Hỏi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC mất bao lâu?  Biết quãng đường tổng (AC) dài 165 km và thời gian t (AB) < t (BC) là 30 phút.

Gợi ý:

 

s (km) v (km/h) t ( giờ)

Quãng đường AB

50x 50

x (x > 0)

Quãng đường BC 50y 45

y (y > 0)

Mối quan hệ: 50x + 45y = 165 và x + 0,5 = y

Giải:

Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC lần lượt là x (giờ) và y (giờ).

Điều kiện x, y > 0

Độ dài quãng đường: AB = 50x (km); BC = 45y (km

Vì quãng đường AC dài 165 km nên ta có phương trình: 50x + 45y = 160 (1)

Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút.  

 Vậy ta lập được phương trình: x + 0,5 = y (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

50x + 45y = 165 ⇔ x = 0,5 (thỏa mãn đk)

x + 0,5 = y  <=> y = 2 (thỏa mãn đk)

Vậy ô tô đi trên quãng đường AB mất 0,5 giờ và trên đoạn đường BC mất 2h

VD2: Một tàu đánh bắt cá chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h, vận tốc dòng nước là 4km/h. Yêu cầu: Tính vận tốc của con tàu khi nước yên lặng.

Gợi ý: Vì chuyển động dưới nước có vận tốc dòng nước nên vận tốc được chia thành 2 phần gọi là vận tốc thực của tàu là x km/h (x>4)

Áp dụng công thức: t xuôi + t ngược + 8h

Giải

Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h (x>0)

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là:  x + 4 (km/h)

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x – 4 (km/h)

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x+4) (h)

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x-4) (h)

Vì tổng thời gian đi và về là 8h nên ta có phương trình:

80/(x+4) + 80/(x-4) = 8 ⇔ x = 20,77 (thỏa điều kiện)

Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20,77 km/h

VD3: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày.

Do đó, phân xưởng không những hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo?

Gợi ý:

Số áo may trong một ngày. Số ngày may = tổng số áo may.

 

Số áo may một ngày Số ngày may Tổng số áo may
Theo kế hoạch 90 X

90x

Đã thực hiện

120 x-9

120(x-9)

Giải:

Gọi số ngày may theo kế hoạch là x (ngày) (x>9)

Thì tổng số áo may theo kế hoạch là 90x (áo)

Thời gian thực tế phân xưởng đã làm là: x-9 (ngày)

Số áo may được trong x-9 ngày là 120 (x-9) (áo)

Mà thực tế phân xương đã may được nhiều hơn so với kế hoạch là 60 áo nên ta có phương trình:

120 (x-9) = 90x+60 <=> x=38 (thỏa điều kiện)

Vậy theo kế hoạch số áo phân xưởng phải may là: 38.90=3420 (áo)

5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9

VD1: Một bể nước với 2 vòi A và B chảy với lưu lượng nước ổn định.Nước trong bể là 55 lít nếu vòi A chảy trong 4 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ. Còn nếu vòi A chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 4 giờ thì lượng nước trong bể sẽ là 57 lít. Biết rằng, dung tích của bể là 320 lít. Vậy nếu hai vòi cùng chảy một lúc thì sau bao nhiêu lâu nước đầy bể

Giải:

Gọi x, y lần lượt là lượng nước chảy qua vời A, B trong 1h

Vòi A chảy trong 4h và vòi B chảy trong 3h thì lượng nước chảy trong bể là 55 lít nên: 

4x + 3y = 55      (1)

Vòi A chảy trong 3h và vòi B chảy trong 4h thì lượng nước chảy trong bể là 57 lít nên: 

3x + 4y = 57      (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

   4x + 3y = 55   

3x + 4y = 57 

⇔ x = 7 và y = 9

Vậy thời gian để 2 vòi A và B cùng chảy đầy bể là: 320/(9+7) = 20 giờ

VD2: Dự định rằng A và B cùng làm chung 1 công việc thì trong 12 giờ thì xong. Họ làm chung được 8 giờ thì A nghỉ, còn B vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi nên B đã làm xong phần việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi nếu A và B làm một mình với năng suất ban đầu thì sau bao lâu làm xong công việc nói trên?

Giải:

Gọi x (giờ) là thòi gian A làm một mình xong công việc (x > 0)

     y (giờ) là thòi gian B làm một mình xong công việc (y>0)

1h hai người làm chung được ½ công việc nên: 1/x + 1/y =1/12

Hai người đã làm chung trong 8h nên công việc còn lại là: ⅓

Do tăng năng suất gấp đôi nên trong 1h người 2 làm được 2/y (công việc)

Người 2 phải làm trong 2h30’ (10/3 h) mới xong công việc nên: 2/y . 10/3 = ⅓

=>Hệ phương trình:

1/x + 1/y =1/12 => x = 30 (thỏa)

  2/y . 10/3 = ⅓       y = 20 (thỏa)

Vậy A làm một mình xong công việc mất 30h và B mất 20h.

VD3: Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhất biết rằng: Nếu tăng gấp đôi chiều dài và giảm một nửa chiều rộng thì chu vi mảnh đất tăng lên 180cm. Nếu tăng gấp đôi chiều rộng và giảm một nửa chiều dài thì chu vi tăng lên 120cm.

Giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lươt là: x (m), y (m) (x,y>0)

=>Chu vi mảnh vườn là: x + y (m)

Tăng gấp đôi chiều dài và giảm một nửa chiều rộng thì chu vi mảnh đất tăng lên 180cm => 2x + y/2 = (x + y) + 180 (1)

Tăng gấp đôi chiều rộng và giảm một nửa chiều dài thì chu vi tăng lên 120cm 

=> x/2 + 2y = (x + y) + 120 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

2x + y/2 = (x + y) + 180 => x = 165 (thỏa)

x/2 + 2y = (x + y) + 120       y = 135 (thỏa)

Vậy mảnh vườn có chiều dài: 165m và chiều rộng 135m.

6. Một số bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tự giải 

Bài 1: Hai người ở hai địa điểm cách nhau 10km và khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai điểm khởi hành là 5km. Nếu vận tốc không đổi, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 30 phút thì họ sẽ gặp nhau ở ½ quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Bải 2: Lúc 7 giờ sáng, Hoa đi xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10km/h. Sau đó lúc 8 giờ, Bình đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 35km/h. Hỏi thòi điểm Bình và Hoa gặp nhau?

Bài 3: Phân xưởng may mặc Á Đông theo kế hoạch mỗi ngày phải may được 200 chiếc áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày may được 180 chiếc áo nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm được 2 ngày mà còn vượt mức 38 chiếc áo nữa. Tính số áo phải may theo kế hoạch đã đưa ra.

Bải 4: Người ta cho 2 vòi nước chảy vào 1 bể không có nước. Nếu vòi 1 chảy một mình thì 1h sau đầy bể và khóa lại, sau đó mở vòi 2 trong tiếp 4h thì cả 2 vòi chảy được 7/12 bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể.. Biết rằng, vòi thứ 2 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 1 là 8h.

Bài 5: Một phòng họp chứa được 300 chỗ ngồi.Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi. Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?

Bài 6:  Cho một số có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu chia số đó cho chữ số hàng chục của nó thì được thương là 11, dư là 2. Tìm số đã cho.

Bài 7: Cho tam giác vuông biết rằng nếu tăng các cạnh góc vuông lần lượt lên 2cm, 3 cm thì diện tích tăng 50cm2. Nếu giảm 2 cạnh đi 2cm thì diện tích giảm 32cm2. Hỏi độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác bằng bao nhiêu?

Bài 8: Một con ghe xuôi dòng từ A->B, biết độ dài quãng đường AB = 100 km. Cùng lúc đó một bè nứa trôi tự do từ A->B. Ghe đến B thì quay lại A ngay, tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 15 giờ. Trên đường ghe ngược về A thì gặp bè nứa tại một điểm cách A là 50 km. Tìm vận tốc riêng của ghe và vận tốc của dòng nước?

Bài 9: Một thửa ruộng hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m, chiều dài hơn chiều rộng 7m. Hỏi diện tích thửa ruộng đó là bằng bao nhiêu?

Bài 10: Thực hiện thi đua theo phong trào chủ nhật xanh, lớp 9A được phân công trồng 420 cây xanh. Lớp dự định chia đều số cây cho mỗi học sinh trong lớp. Đến buổi lao động có 5 bạn vắng, vậy mỗi bạn phải trồng thêm 2 cây nữa mới hết số cây phải trồng. Hỏi sĩ số học sinh lớp 9A bằng bao nhiêu?

————-

Với bài viết “Cách giải và bài toán lập hệ phương trình lớp 8, lớp 9” ở trên hy vọng các em có thể tham khảo để làm bài tốt hơn! Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập nhé.

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here